南京财经大学2007年高等代数考研试卷
- 下载名称：南京财经大学2007年高等代数考研试卷
- 发布时间：2008-07-23
- 关键字： 考研试卷 免费下载
::试卷简介::
南 京 财 经 大 学
2007年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目： 418 高等代数
适用专业： 应用数学
考试时间： 2007年1月21日下午14:00-17:00
注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
1. (15分) 设 及 为三个多项式, 证明
2. (15分) 计算行列式
，
其中
3. (15分) 证明方程组
有解的充分必要条件为 有解时, 求其一般解.
4. (20分) 已知二次型 令
其中k为实数, A为 的矩阵, E为3阶单位矩阵.
(1) 证明存在正交矩阵Q同时将A与B化为对角形.
(2) 求出化二次型 为标准形的正交变换, 并
确定k为何值时, 为正定二次型.
5. (25分) 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵. 证明
(1) 若AB = 0, 并且 秩( A+B ) = n, 则 秩( A ) + 秩( B ) = n.
(2) 若A2 = A, 则 秩( A ) + 秩 = n.
(3) 若A2 = A, 则A的特征值为0或1, 且A可对角化.
6. (10分) 证明若A为正定矩阵, 则对任何实向量x, y, 有
且等号成立的充要条件为x, y线性相关.
2007年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷
考试科目： 418 高等代数
适用专业： 应用数学
考试时间： 2007年1月21日下午14:00-17:00
注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
1. (15分) 设 及 为三个多项式, 证明
2. (15分) 计算行列式
，
其中
3. (15分) 证明方程组
有解的充分必要条件为 有解时, 求其一般解.
4. (20分) 已知二次型 令
其中k为实数, A为 的矩阵, E为3阶单位矩阵.
(1) 证明存在正交矩阵Q同时将A与B化为对角形.
(2) 求出化二次型 为标准形的正交变换, 并
确定k为何值时, 为正定二次型.
5. (25分) 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵. 证明
(1) 若AB = 0, 并且 秩( A+B ) = n, 则 秩( A ) + 秩( B ) = n.
(2) 若A2 = A, 则 秩( A ) + 秩 = n.
(3) 若A2 = A, 则A的特征值为0或1, 且A可对角化.
6. (10分) 证明若A为正定矩阵, 则对任何实向量x, y, 有
且等号成立的充要条件为x, y线性相关.
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