复旦大学数学分析三期末试卷答案
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《数学分析（III）》试题答案
2005.1
一．（本题满分10分）33000===zyx。
二．（本题满分10分）22aπ。
三．（本题满分10分）215。
四．（本题满分10分）
作球面坐标变换ϕθϕθϕcos,sinsin,cossinrzryrx===得
∫∫∫∫∫∫=Ωπϕπϕϕθ0|cos|20102||sindeddrrdxdydzerz。
由于)1(2sinsinsin2cos20cos0|cos|−=+=∫∫∫−rrrrederderderππϕπϕπϕϕϕϕϕϕϕ，所以
ππ2)1(410||=−=∫∫∫∫Ωdrerdxdydzerz。
五．（本题满分10分） 22aπ
六． （本题满分10分）42hπ−。
七．（本题满分10分）1−=λ；Cxyyxu+−=2arctan),(。
八．（本题满分15分）Σ∞=−−=12142cos42)(nnnxxfππ，ππ≤≤−x； 2114112=−Σ∞=nn；()21161412122−=−Σ∞=πnn。
九．（本题满分15分）（1）因为)1(1)1(cos22ttttxt+≤+，),(∞+−∞∈x，，而),1[∞+∈t∫∞++12)1(1dttt收敛，所以∫∞++12)1(cosdtttxt关于x在),(∞+−∞上一致收敛。
（2）对于任意给定的0>ε。因为∫∞++12)1(cosdtttxt一致收敛，所以存在1>A，使得2)1(cos2ε<+∫∞+Adtttxt（),(∞+−∞∈x）。由Riemann引理知0)1(coslim12=+∫+∞→Axdtttxt，